一文搞懂排列组合：4种情况的通用公式

在算法和数学中，经常会遇到这样的问题：

从 n 个不同的元素中选择 m 个，有多少种选择方式？

看似简单，但根据两个条件的不同，会产生 4 种经典情况：

1. 是否考虑顺序
2. 是否允许重复选择

这两个条件组合起来，就是排列组合中最常见的四类问题。

一张表快速理解

下面逐个分析。

1. 组合：不考虑顺序，不允许重复

场景

从 n 个不同元素中选择 m 个，只关心选中了哪些。

例如：

有 5 个数字：

1

1 2 3 4 5

选择 3 个。

那么：

1

1 2 3

和：

1

3 2 1

认为是同一种。

公式

$$C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

其中：

• n! 表示阶乘
• m! 用来去除选中元素内部的排列情况

例如：

$$C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = 10$$

2. 排列：考虑顺序，不允许重复

场景

选择出来的元素需要区分位置。

例如：

5个人里面选3个人排队：

1

A B C

和：

1

B A C

属于不同情况。

公式

$$P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

计算：

$$P(5,3) = 5\times4\times3 = 60$$

原因：

第一个位置：

1

5种选择

第二个位置：

1

4种选择

第三个位置：

1

3种选择

3. 可重复组合：不考虑顺序，允许重复

场景

元素可以被多次选择，并且不关心顺序。

例如：

有：

1

苹果 香蕉 橘子

选择两个水果。

允许：

1
2
3

苹果 苹果
苹果 香蕉
香蕉 香蕉

但是：

1

苹果 香蕉

和：

1

香蕉 苹果

算一种。

公式

$$C(n+m-1,m)$$

例如：

3种水果选2个：

$$C(3+2-1,2) = C(4,2) = 6$$

所有情况：

1
2
3
4
5
6

苹果苹果
苹果香蕉
苹果橘子
香蕉香蕉
香蕉橘子
橘子橘子

4. 可重复排列：考虑顺序，允许重复

场景

每个位置都可以重新选择。

例如：

密码：

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

生成一个3位密码。

第一位：

1

10种

第二位：

1

10种

第三位：

1

10种

所以：

$$10^3=1000$$

通用公式：

$$n^m$$

如何快速判断？

做题时只问两个问题。

第一个问题：顺序重要吗？

不重要：

例如：

• 选一个团队
• 抽几个商品
• 选择几个元素组成集合

使用：

1

组合

重要：

例如：

• 排队
• 密码
• 比赛排名
• 座位安排

使用：

1

排列

第二个问题：能重复吗？

不能重复：

每个元素只能使用一次。

例如：

1

从5个人里面选3个人

可以重复：

同一个元素可以多次出现。

例如：

1

生成密码

最终记忆图

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

                是否允许重复
                      |
         -------------------------
         |                       |
       不允许                    允许
         |                       |
   ----------------        ----------------
   |              |        |              |
不考虑顺序    考虑顺序  不考虑顺序    考虑顺序

 C(n,m)      P(n,m)   C(n+m-1,m)    n^m
 组合        排列     可重复组合    可重复排列

总结一句话

不重复时：

• 不看顺序 → 组合 C(n,m)
• 看顺序 → 排列 P(n,m)

可重复时：

• 不看顺序 → C(n+m-1,m)
• 看顺序 → n^m

掌握这四个公式，基本可以解决绝大多数排列组合问题。